Дано tg(π/2 + α). Вычислить sin α.

Для того чтобы вычислить $\sin \alpha$, исходя из выражения $\tg\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$, воспользуемся тригонометрическими преобразованиями.

1. Используем формулу для тангенса суммы:

   Сначала вспомним, что:

   $$\tg\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\cot \alpha$$

   Это можно доказать, используя формулу для тангенса суммы:

   $$\tg(A + B) = \frac{\tg A + \tg B}{1 - \tg A \cdot \tg B}$$

   Подставим $A = \frac{\pi}{2}$, $B = \alpha$:

   $$\tg\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \frac{\tg \frac{\pi}{2} + \tg \alpha}{1 - \tg \frac{\pi}{2} \cdot \tg \alpha}$$

   Так как $\tg \frac{\pi}{2}$ не существует (бесконечно большое), то результат сводится к:

   $$\tg\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\cot \alpha$$

   То есть, $\tg\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\cot \alpha$.

2. Найдем выражение для $\sin \alpha$:

   Теперь, чтобы найти $\sin \alpha$, воспользуемся определением котангенса:

   $$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$

   Следовательно, из выражения $\tg\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\cot \alpha$ можно записать:

   $$\tg\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$

   Таким образом, если у нас есть значение $\tg\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$, мы можем выразить $\sin \alpha$ через это значение.

   Если $x = \tg\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$, то:

   $$x = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$

   Из этого уравнения можно выразить $\sin \alpha$ следующим образом:

   $$\sin \alpha = -\frac{\cos \alpha}{x}$$

   Это и есть решение задачи.