Решите уравнение 4sin^3x=3cos(x-p/2)

Для решения уравнения $4\sin^3(x) = 3\cos(x - \frac{\pi}{2})$, давайте постепенно трансформировать и решить его.

1. Используем тригонометрические идентичности:

   Известно, что $\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \sin(x)$ по формуле сдвига угла для косинуса. Подставим это в уравнение:

   $$4\sin^3(x) = 3\sin(x)$$

2. Приводим уравнение к более простому виду:

   Переносим все члены в одну сторону:

   $$4\sin^3(x) - 3\sin(x) = 0$$

   Выносим $\sin(x)$ за скобки:

   $$\sin(x)(4\sin^2(x) - 3) = 0$$

3. Решаем уравнение:

   У нас теперь есть два множителя. Рассмотрим их по очереди:

   • Первый множитель: $\sin(x) = 0$

     Это уравнение имеет решения:

     $$x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

   • Второй множитель: $4\sin^2(x) - 3 = 0$

     Решим это уравнение:

     $$4\sin^2(x) = 3 \quad \Rightarrow \quad \sin^2(x) = \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad \sin(x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

     Это дает два возможных значения для $\sin(x)$:

     • $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

     • $\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

     Для $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, решения будут:

     $$x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

     Для $\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, решения будут:

     $$x = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

4. Полные решения:

   Таким образом, решения исходного уравнения:

   $$x = n\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi, \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

   Эти значения $x$ являются полным решением уравнения.