Приведите к многочлену стандартного вида: (1 + b)³(a - 2)³(3a + b)³(c - 4d)³

Чтобы привести выражение $(1 + b)^3(a - 2)^3(3a + b)^3(c - 4d)^3$ к многочлену стандартного вида, нужно поэтапно раскрыть каждое из множителей, применяя формулы для куба суммы и произведения.

1. Раскрытие куба $(1 + b)^3$:
   Используем формулу куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$, где $x = 1$ и $y = b$:

   $$(1 + b)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot b + 3 \cdot 1 \cdot b^2 + b^3 = 1 + 3b + 3b^2 + b^3$$

2. Раскрытие куба $(a - 2)^3$:
   Используем формулу куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$, где $x = a$ и $y = 2$:

   $$(a - 2)^3 = a^3 - 3a^2 \cdot 2 + 3a \cdot 2^2 - 2^3 = a^3 - 6a^2 + 12a - 8$$

3. Раскрытие куба $(3a + b)^3$:
   Используем формулу для куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$, где $x = 3a$ и $y = b$:

   $$(3a + b)^3 = (3a)^3 + 3(3a)^2 \cdot b + 3(3a) \cdot b^2 + b^3 = 27a^3 + 27a^2b + 9ab^2 + b^3$$

4. Раскрытие куба $(c - 4d)^3$:
   Используем формулу куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$, где $x = c$ и $y = 4d$:

   $$(c - 4d)^3 = c^3 - 3c^2 \cdot 4d + 3c \cdot (4d)^2 - (4d)^3 = c^3 - 12c^2d + 48cd^2 - 64d^3$$

Теперь, когда мы раскрыли все кубы, можем перемножить все эти выражения между собой. Множители в виде многочленов будут выглядеть так: