Сократите дробь a^2+2a+1/2a^2+3a+1

Для того чтобы сократить дробь $\frac{a^2 + 2a + 1}{2a^2 + 3a + 1}$, нужно выполнить несколько шагов:

1. Распишем числитель и знаменатель:

   Числитель: $a^2 + 2a + 1$ — это полный квадрат бинома, его можно записать как $(a + 1)^2$.

   Знаменатель: $2a^2 + 3a + 1$ — это квадратный трёхчлен, который нужно попытаться разложить на множители.

2. Попробуем разложить знаменатель:

   Мы ищем такие числа, которые при умножении дадут произведение $2 \times 1 = 2$, а при сложении дадут $3$. Это числа $1$ и $2$. Разделим средний член $3a$ на два слагаемых: $2a + a$.

   Таким образом, знаменатель можно записать как:
   $2a^2 + 3a + 1 = 2a^2 + 2a + a + 1$.

   Группируем слагаемые:
   $(2a^2 + 2a) + (a + 1)$.

   Теперь выносим общий множитель:
   $2a(a + 1) + 1(a + 1)$.

   В итоге, знаменатель можно записать как $(a + 1)(2a + 1)$.

3. Подставим разложенные выражения в исходную дробь:

   $$\frac{a^2 + 2a + 1}{2a^2 + 3a + 1} = \frac{(a + 1)^2}{(a + 1)(2a + 1)}.$$

4. Сократим общий множитель $(a + 1)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $a \neq -1$, так как при $a = -1$ дробь станет неопределённой.

   Окончательно получаем:

   $$\frac{a + 1}{2a + 1}.$$

Таким образом, сокращённая форма дроби — это $\frac{a + 1}{2a + 1}$.