Найдите наименьшее значение функции \( y = (3x^2 - 36x + 36)e^{x-10} \) на отрезке [8; 11].

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = (3x^2 - 36x + 36)e^{x-10}$ на отрезке $[8; 11]$, следует выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем производную функции

Для того чтобы найти экстремумы функции, нужно сначала вычислить её производную по $x$. Это можно сделать, используя правило произведения.

Пусть:

Тогда производная функции $y = f(x) \cdot g(x)$ будет вычисляться по формуле:

1. Производная $f(x) = 3x^2 - 36x + 36$:

2. Производная $g(x) = e^{x-10}$:

Таким образом, производная функции $y$ будет:

Можно вынести $e^{x-10}$ за скобки:

Упростим выражение в скобках:

Таким образом, производная функции:

Шаг 2: Находим критические точки

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

Поскольку $e^{x-10}$ никогда не равно нулю, достаточно приравнять к нулю выражение $3x^2 - 30x$:

Решения этого уравнения:

Так как нас интересует отрезок $[8; 11]$, то критическая точка на этом отрезке — это $x = 10$.

Шаг 3: Проверяем значения функции на концах отрезка и в критической точке

Теперь нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точке $x = 10$.

1. $y(8) = (3(8)^2 - 36(8) + 36)e^{8-10} = (192 - 288 + 36)e^{-2} = (-60)e^{-2}$.

2. $y(10) = (3(10)^2 - 36(10) + 36)e^{10-10} = (300 - 360 + 36)e^{0} = (-24)$.

3. $y(11) = (3(11)^2 - 36(11) + 36)e^{11-10} = (363 - 396 + 36)e^{1} = (3)e^{1} = 3e$.

Шаг 4: Сравниваем значения функции

Теперь сравним значения функции:

• $y(8) = -60e^{-2} \approx -60 \times 0.1353 \approx -8.12$