Упростить: cos альфа ctg альфа + sin альфа

Для упрощения выражения $\cos(\alpha) \cdot \cot(\alpha) + \sin(\alpha)$, воспользуемся определениями тригонометрических функций.

1. Напомним, что $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$. Подставим это в исходное выражение:

   $$\cos(\alpha) \cdot \cot(\alpha) + \sin(\alpha) = \cos(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} + \sin(\alpha).$$

2. Упростим первую часть:

   $$\cos(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)}.$$

3. Теперь подставим это в исходное выражение:

   $$\frac{\cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)} + \sin(\alpha).$$

4. Чтобы сложить эти два выражения, приведём их к общему знаменателю. Для этого умножим $\sin(\alpha)$ во втором выражении на $\sin(\alpha)$, чтобы знаменатели стали одинаковыми:

   $$\frac{\cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)} + \frac{\sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)}.$$

5. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$, и подставим это в выражение:

   $$\frac{1}{\sin(\alpha)}.$$

6. Напоминаем, что $\frac{1}{\sin(\alpha)} = \csc(\alpha)$.

Таким образом, упрощённое выражение равно $\csc(\alpha)$.