Найти точки экстремума функции y=(4/x)+(x/16)

Область определения: x ≠ 0.

y = 4/x + x/16
y' = −4/x² + 1/16.
Критические точки: y' = 0 ⇒ −4/x² + 1/16 = 0 ⇒ 1/16 = 4/x² ⇒ x² = 64 ⇒ x = ±8.

Проверка вторым производным:
y'' = 8/x³.
• y''(8) = 8/512 = 1/64 > 0 ⇒ при x = 8 — минимум.
• y''(−8) = 8/(−512) = −1/64 < 0 ⇒ при x = −8 — максимум.

Значения функции:
y(8) = 4/8 + 8/16 = 1/2 + 1/2 = 1.
y(−8) = 4/(−8) + (−8)/16 = −1/2 − 1/2 = −1.

Итог — точки экстремума:
• Максимум в точке (−8, −1).
• Минимум в точке (8, 1).

Дополнительно (монотонность): y' > 0 при |x| > 8 (возрастает на (−∞, −8) и (8, ∞)) и y' < 0 при 0 < |x| < 8 (убывает на (−8, 0) и (0, 8)). На (0, ∞) минимум глобальный при x = 8; на (−∞, 0) максимум глобальный при x = −8.