Найти точки экстремума для функции y = 2 - x - x².

Чтобы найти точки экстремума функции $y = 2 - x - x^2$, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции.
   Для этого применим стандартные правила дифференцирования:

   $$y = 2 - x - x^2$$

   Производная $y'$ будет:

   $$y' = \frac{d}{dx}(2) - \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(x^2) = 0 - 1 - 2x = -1 - 2x$$

2. Найти критические точки.
   Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

   $$-1 - 2x = 0$$

   Переносим -1 в правую сторону:

   $$-2x = 1$$

   Разделим обе части уравнения на -2:

   $$x = -\frac{1}{2}$$

   Таким образом, $x = -\frac{1}{2}$ — это потенциальная точка экстремума.

3. Определить тип экстремума.
   Для этого нужно вычислить вторую производную функции $y$.

   Производная первой степени уже найдена:

   $$y' = -1 - 2x$$

   Теперь вычислим вторую производную:

   $$y'' = \frac{d}{dx}(-1 - 2x) = -2$$

   Поскольку $y'' = -2$ — это отрицательное значение, это значит, что функция имеет максимум в точке $x = -\frac{1}{2}$.

4. Найти значение функции в точке экстремума.
   Подставим $x = -\frac{1}{2}$ в исходную функцию $y = 2 - x - x^2$:

   $$y = 2 - \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right)^2$$ $$y = 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$$ $$y = 2 + \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$$

   Таким образом, точка экстремума имеет координаты $\left(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$.

Ответ: точка экстремума функции $y = 2 - x - x^2$ — это точка $\left(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$, и это максимум функции.