sin x + sin 2x = cos x + 2 cos²x. Найти корни уравнения, принадлежащие полуинтервалу (-3π/4; π].

Решу по тождествах.

Сгруппируем и вынесем общий множитель:

Два случая:

1. $\sin x=\cos x\Rightarrow\tan x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi$.

   На полуинтервале $(-3\pi/4;\,\pi]$ подходят:

   $$x=\frac{\pi}{4}\quad(\text{допустим});$$

   значение $x=-\frac{3\pi}{4}$ соответствует $k=-1$, но левая граница исключена, поэтому не берём.

2. $1+2\cos x=0\Rightarrow \cos x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi$.

   На данном полуинтервале подходят:

   $$x=-\frac{2\pi}{3},\qquad x=\frac{2\pi}{3}.$$

   Точки $x=\frac{4\pi}{3}$ и $x=-\frac{4\pi}{3}$ вне интервала.

Проверка правой границы: при $x=\pi$ уравнение не выполняется, значит $\pi$ не корень.

Итог: все корни на $(-3\pi/4;\,\pi]$ — это