Найдите корни уравнения 2 sin x+ sin 2 x=cos x + 1 , принадлежащие полуинтервалу (- 2П/3 ; П)

Решу алгебраически и потом отберу корни на указанном промежутке.

Исходное уравнение:

Используем $\sin 2x=2\sin x\cos x$:

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

Итак, получаем два случая:

1. $1+\cos x=0\;\Rightarrow\;\cos x=-1\;\Rightarrow\;x=\pi+2\pi k$.

2. $2\sin x-1=0\;\Rightarrow\;\sin x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Отберём из них значения в полуинтервале $(-\tfrac{2\pi}{3};\pi)$:

• $\frac{\pi}{6}\approx0{.}524\in(-\tfrac{2\pi}{3};\pi)$.

• $\frac{5\pi}{6}\approx2{.}618\in(-\tfrac{2\pi}{3};\pi)$.

• $x=\pi$ — решение уравнения, и оно попадает в промежуток только если правая граница включена (то есть в полуинтервале $(-\tfrac{2\pi}{3};\pi]$); если правая граница не включена, $\pi$ не берём.

• Левая граница $-\tfrac{2\pi}{3}$ всё равно не является корнем (подстановка даёт $-\tfrac{\sqrt3}{2}\neq\tfrac12$).

Итого, на $(-\tfrac{2\pi}{3};\pi)$ корни:

Если полуинтервал понимается как $(-\tfrac{2\pi}{3};\pi]$, то дополнительно включается $x=\pi$.