Какой четырёхугольник называется прямоугольником? Докажите, что диагонали прямоугольника равны!

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (достаточно, чтобы один угол был прямым: тогда по свойствам параллелограмма остальные тоже прямые).

Доказательство равенства диагоналей.
Пусть $ABCD$ — прямоугольник. Из того, что все углы по $90^\circ$, сразу следует, что $AB\parallel CD$ и $BC\parallel AD$, то есть $ABCD$ — параллелограмм, а значит противоположные стороны равны: $AB=CD$ и $BC=AD$.

Рассмотрим диагонали $AC$ и $BD$.

1. В треугольнике $ABC$ угол при $B$ прямой, поэтому по теореме Пифагора

2. В треугольнике $BAD$ угол при $A$ прямой, поэтому

Но $AD=BC$, следовательно

а значит $AC=BD$. Диагонали прямоугольника равны.

(Альтернативно: прямоугольные треугольники $ABC$ и $BAD$ имеют общий катет $AB$ и по одному равному катету $BC=AD$; по признаку равенства прямоугольных треугольников (катет–катет) они равны, следовательно их гипотенузы $AC$ и $BD$ равны.)