1) Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) x² + 3x - 40 б) 2y² + 5y - 3 2) Найдите наименьшее значение квадратного трёхчлена x² + 2x - 24.

1. Разложим на множители квадратные трёхчлены:

а) $x^2 + 3x - 40$:

Для того чтобы разложить этот трёхчлен на множители, нужно найти такие два числа, которые при умножении дают -40, а при сложении — 3. Это числа 8 и -5, так как $8 \times (-5) = -40$ и $8 + (-5) = 3$.

Следовательно, трёхчлен можно разложить как:

б) $2y^2 + 5y - 3$:

Для этого трёхчлена сначала умножим первый коэффициент (2) на последний (-3), получим -6. Теперь нужно найти два числа, которые при умножении дают -6, а при сложении — 5. Это числа 6 и -1, так как $6 \times (-1) = -6$ и $6 + (-1) = 5$.

Заменим средний член, разлагая его на два слагаемых:

Теперь выделим общий множитель в каждой из пар:

Теперь можно вынести общий множитель $(y + 3)$:

Таким образом, трёхчлен $2y^2 + 5y - 3$ разлагается как $(2y - 1)(y + 3)$.

2. Найдём наименьшее значение квадратного трёхчлена $x^2 + 2x - 24$.

Для того чтобы найти наименьшее значение, можно воспользоваться методом выделения полного квадрата. Рассмотрим выражение $x^2 + 2x - 24$.

Первым шагом выделим полный квадрат из первых двух слагаемых:

Теперь подставим это в исходное выражение:

Теперь видно, что наименьшее значение этого выражения достигается, когда $(x + 1)^2$ минимально. Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, минимальное значение $(x + 1)^2$ равно 0. Это происходит, когда $x + 1 = 0$, то есть $x = -1$.

Подставив $x = -1$ в выражение, получаем:

Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена $x^2 + 2x - 24$ равно $-25$, и оно достигается при $x = -1$.