Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 12. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема треугольной пирамиды, в которой боковые рёбра взаимно перпендикулярны, нам нужно использовать формулу объема пирамиды, а также учитывать геометрические особенности данной ситуации.

1. Предположения и исходные данные:
   У нас есть треугольная пирамида с перпендикулярными боковыми рёбрами, каждое из которых равно 12. Пусть основания пирамиды находятся в треугольнике, а боковые рёбра соединяют вершину пирамиды с каждым из вершин основания.

2. Рассмотрим перпендикулярность боковых рёбер:
   Поскольку боковые рёбра взаимно перпендикулярны, это означает, что они образуют прямой угол друг с другом. То есть, можно рассматривать их как два взаимно перпендикулярных отрезка, лежащих в плоскости, которая проходит через вершину пирамиды и два смежных рёбра.

3. Объём пирамиды:
   Объём пирамиды можно вычислить по формуле:

   $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h$$

   где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания пирамиды, а $h$ — высота пирамиды.

4. Площадь основания:
   Площадь основания треугольной пирамиды $S_{\text{осн}}$ можно найти, если это основание — прямоугольный треугольник, так как боковые рёбра перпендикулярны.

   В нашем случае, если боковые рёбра являются катетами прямоугольного треугольника, то площадь основания будет:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

   где $a = b = 12$ — длина каждого из боковых рёбер.

   Таким образом, площадь основания:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72$$

5. Высота пирамиды:
   В случае прямоугольной треугольной пирамиды, высота будет равна длине третьего рёбра, который можно вычислить по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, имеющего катеты длиной 12:

   $$h = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$$

6. Объём пирамиды:
   Теперь, подставив все значения в формулу объёма:

   $$V = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 12\sqrt{2} = \frac{1}{3} \cdot 864\sqrt{2} = 288\sqrt{2}$$

   Таким образом, объём пирамиды равен $288\sqrt{2}$ кубических единиц.