Произведение двух положительных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наибольшее значение.

Задача состоит в том, чтобы найти два положительных числа, произведение которых равно 484, и при этом сумма этих чисел должна быть максимальной.

1. Обозначим эти два числа как $x$ и $y$, где $x > 0$ и $y > 0$. Из условия задачи известно, что их произведение:

2. Нам нужно максимизировать сумму этих чисел, то есть найти:

3. Чтобы решить эту задачу, выразим $y$ через $x$ из уравнения $x \cdot y = 484$:

4. Подставим это выражение для $y$ в формулу для суммы:

Теперь нам нужно найти такое значение $x$, при котором эта сумма максимальна.

5. Для нахождения экстремума функции $S(x)$, найдем её производную и приравняем её к нулю. Производная функции $S(x)$ будет:

6. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критическую точку:

7. Теперь, зная $x = 22$, подставим это значение в выражение для $y$:

8. Таким образом, оба числа равны 22. Сумма этих чисел равна:

9. Чтобы убедиться, что это действительно максимальная сумма, можем проверить вторую производную функции $S(x)$. Вторая производная:

Для $x = 22$ вторая производная положительна ($S''(22) > 0$), что подтверждает, что функция $S(x)$ имеет минимум в этой точке, и сумма действительно максимальна при $x = 22$.

Ответ: два числа, произведение которых равно 484, и сумма которых максимальна, это 22 и 22.