Построить график функции y = x³ – 3x, найти её наибольшее и наименьшее значение на отрезке [-1; 3].

Для того чтобы построить график функции $y = x^3 - 3x$ и найти её наибольшее и наименьшее значение на отрезке $[-1; 3]$, нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Исследование функции

Функция $y = x^3 - 3x$ является полиномиальной. Чтобы найти её экстремумы, необходимо найти производную функции и решить уравнение, при котором производная равна нулю.

1. Находим первую производную функции:

   $$y'(x) = 3x^2 - 3.$$

2. Приравниваем её к нулю, чтобы найти критические точки:

   $$3x^2 - 3 = 0.$$

   Решаем это уравнение:

   $$x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1.$$

   Таким образом, критические точки функции на отрезке $[-1; 3]$ — это $x = 1$ и $x = -1$.

Шаг 2: Анализ значений функции

Теперь нужно найти значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• В точке $x = -1$:

  $$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2.$$

• В точке $x = 1$:

  $$y(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2.$$

• В точке $x = 3$:

  $$y(3) = (3)^3 - 3(3) = 27 - 9 = 18.$$

Шаг 3: Определение наибольшего и наименьшего значения

Мы нашли значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• $y(-1) = 2$,

• $y(1) = -2$,

• $y(3) = 18$.

Наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 3]$ — это $18$, а наименьшее — $-2$.

Шаг 4: Построение графика

График функции будет представлять собой кривую, которая пересекает ось $x$ в точке $x = -1$, достигает локального минимума в точке $x = 1$, и растет с ростом $x$.

На графике видно, что наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 3]$ достигается в точке $x = 3$, а наименьшее — в точке $x = 1$.