В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 6, а длина бокового ребра равна 7,5. Найдите высоту пирамиды.

Для нахождения высоты правильной шестиугольной пирамиды, нужно использовать несколько геометрических понятий.

1. Рассмотрим сечение пирамиды, которое проходит через её вершину и центр основания.
   Это сечение будет содержать равнобедренный треугольник, вершина которого — это вершина пирамиды, а основания — это центр шестиугольника и одна из вершин основания.

2. Найдём апофему шестиугольника.
   Апофема правильного шестиугольника — это расстояние от центра шестиугольника до середины стороны. Для правильного шестиугольника апофема равна:

   $$a_{\text{апоф}} = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3}$$

   где $a = 6$ — длина стороны основания. Подставляем значение:

   $$a_{\text{апоф}} = \frac{6}{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \approx 5,196$$

3. Используем теорему Пифагора для треугольника, образованного высотой пирамиды, апофемой основания и боковым ребром.
   В прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это боковое ребро пирамиды (7,5), одна из катетов — это апофема основания, а второй катет — это высота пирамиды. Обозначим высоту пирамиды как $h$. По теореме Пифагора:

   $$h^2 + a_{\text{апоф}}^2 = \text{боковое ребро}^2$$

   Подставляем значения:

   $$h^2 + (3\sqrt{3})^2 = 7,5^2$$ $$h^2 + 27 = 56,25$$ $$h^2 = 56,25 - 27 = 29,25$$ $$h = \sqrt{29,25} \approx 5,4$$

Таким образом, высота пирамиды примерно равна 5,4.