2sin²x + cos4x = 0.

Уравнение, которое нужно решить: $2\sin^2{x} + \cos{4x} = 0$.

1. Применим тригонометрические тождества:

   Мы знаем, что $\cos{4x} = 1 - 2\sin^2{x}$, это можно получить из формулы удвоенного угла для косинуса. Подставим это в уравнение:

   $$2\sin^2{x} + (1 - 2\sin^2{x}) = 0$$

2. Упростим уравнение:

   $$2\sin^2{x} + 1 - 2\sin^2{x} = 0$$

   Видим, что $2\sin^2{x}$ сокращается с $-2\sin^2{x}$, и остается:

   $$1 = 0$$

3. Получили противоречие, так как 1 не равно 0.

Таким образом, уравнение $2\sin^2{x} + \cos{4x} = 0$ не имеет решений, так как оно сводится к логически неверному утверждению.