Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на указанном промежутке y = x³ - 12x + 5, x ∈ (-2; 1).

Решение.

1. Производная: $y'=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$. Критические точки $x=\pm 2$.

2. На промежутке $(-2;1)$ точки $x=-2$ и $x=2$ не принадлежат (лежат на границе и вне интервала), значит стационарных точек внутри нет.

3. Знак производной на $(-2;1)$: здесь $x+2>0$, а $x-2<0$, поэтому $y'=3(x-2)(x+2)<0$. Следовательно, функция строго убывает на всём $(-2;1)$.

4. Для убывающей функции на открытом интервале наибольшее значение «стремится» к левому концу, а наименьшее — к правому, но на открытом интервале они не достигаются. Посчитаем предельные значения на концах:

Итог: на промежутке $(-2;1)$ функция не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значения. Её верхняя грань (супремум) равна $21$ (достигается лишь при $x\to-2+)$, а нижняя грань (инфимум) равна $-6$ (при $x\to1-)$. Образ множества значений: $y\in(-6;21)$.