1. Определение числовой функции, способы её задания? 2. Свойства функции 3. Обратная функция 4. Числовая окружность. Числовая окружность на координатной плоскости 5. Синус и косинус. Определение на числовой окружности

1. Числовая функция и способы задания

Числовой функцией называют правило, которое каждому $x$ из некоторого множества (области определения $D(f)$) ставит в соответствие единственное число $y$. Записывают $y=f(x)$, множество всех возможных значений — область значений $E(f)$.

Способы задания функции:

• Формула: $f(x)=x^2-3x+2$ при явно указанном $D(f)$.

• График: множество точек $(x,y)$, удовлетворяющих $y=f(x)$.

• Таблица: конечный/дискретный набор пар $(x,y)$.

• Описательное правило/алгоритм: «к каждому $x$ приписать наибольшее целое $\le x$» — функция пол.

• Части́чное (кусочное) задание: разные формулы на разных промежутках $x$.

• Неявно: уравнением $F(x,y)=0$, из которого при данных условиях однозначно находится $y=f(x)$.

• Рекуррентно (для последовательностей как функций на $\mathbb{N}$): $a_{n+1}=\varphi(a_n)$.

2. Основные свойства функции

• Область определения $D(f)$ и область значений $E(f)$.

• Монотонность: возрастающая/убывающая/нестрогая/строгая на промежутке.

• Ограниченность: сверху/снизу/с обеих сторон; наличие $\sup,\inf$, максимумов/минимумов.

• Чётность/нечётность: $f(-x)=f(x)$ (чётная), $f(-x)=-f(x)$ (нечётная). Чётные симметричны оси $Oy$, нечётные — началу координат.

• Периодичность: $f(x+T)=f(x)$ для периода $T>0$.

• Непрерывность: $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$; точки разрыва (1-го/2-го рода), односторонние пределы.

• Дифференцируемость и производная $f'(x)$; геометрический смысл — наклон касательной.

• Выпуклость/вогнутость: по знаку второй производной; точки перегиба.

• Асимптоты: горизонтальные, вертикальные, наклонные.

• Поведение на бесконечности: пределы при $x\to\pm\infty$.

• Липшицевость/нерав-во Липшица и непрерывность по Гёльдеру (для точных оценок, если нужно).

3. Обратная функция

Пусть $f: X\to Y$. Обратимой на множестве $X$ функция будет, если она взаимно-однозначна: различным $x$ соответствуют различные $y$ (инъективность) и каждый $y\in Y$ достигается (сюръективность). Тогда существует $f^{-1}:Y\to X$, такая что

Практически:

• Часто ограничивают область $D(f)$ до промежутка, где $f$ строго монотонна, тогда обратная существует на образе.

• График $y=f^{-1}(x)$ получается зеркальным отражением графика $y=f(x)$ относительно прямой $y=x$.

• Нахождение формулой: из $y=f(x)$ выразить $x$ через $y$, затем поменять обозначения $x\leftrightarrow y$.

• Производная обратной (если $f$ дифференцируема и $f'(x_0)\neq0$):

Примеры: $f(x)=ax+b,\ a\neq0\Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{x-b}{a}$.
$f(x)=e^x$ на $\mathbb{R}\Rightarrow f^{-1}(x)=\ln x$