Используя три различные цифры, не равные нулю, составьте из них все возможные трёхзначные числа и найдите их сумму. При делении этой суммы на сумму трёх выбранных цифр получится 222. Почему?

Давайте разберёмся шаг за шагом, чтобы понять, почему при делении суммы всех возможных трёхзначных чисел на сумму выбранных цифр получится 222.

1. Обозначим цифры: Пусть три выбранные цифры — это $a$, $b$, и $c$, все они разные и не равны нулю.

2. Количество трёхзначных чисел: Из этих трёх цифр можно составить $3! = 6$ различных трёхзначных чисел. Перечислим их:

   • $100a + 10b + c$

   • $100a + 10c + b$

   • $100b + 10a + c$

   • $100b + 10c + a$

   • $100c + 10a + b$

   • $100c + 10b + a$

3. Сумма всех трёхзначных чисел: Суммируем все эти числа:

   $$(100a + 10b + c) + (100a + 10c + b) + (100b + 10a + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b) + (100c + 10b + a)$$

   Группируем по коэффициентам $a$, $b$ и $c$:

   $$(100a + 100a + 10a + 10a + a + a) + (100b + 100b + 10b + 10b + b + b) + (100c + 100c + 10c + 10c + c + c)$$

   Это можно упростить:

   $$200a + 20a + 2a + 200b + 20b + 2b + 200c + 20c + 2c = 222a + 222b + 222c$$

   Таким образом, сумма всех чисел будет:

   $$222(a + b + c)$$

4. Сумма выбранных цифр: Сумма $a + b + c$ — это сумма трёх цифр, которые мы выбрали.

5. Делим сумму чисел на сумму цифр: Теперь, когда мы знаем, что сумма всех чисел равна $222(a + b + c)$, делим её на сумму выбранных цифр:

   $$\frac{222(a + b + c)}{a + b + c} = 222$$

6. Ответ: Получается, что при делении суммы всех чисел на сумму выбранных цифр всегда будет результат 222. Это объясняется тем, что сумма всех чисел — это просто 222, умноженная на сумму выбранных цифр.