Найти угол B треугольника ABC, заданного координатами вершин A(2;4), B(-1;-2), C(11;13).

Для того чтобы найти угол B треугольника ABC, заданного координатами вершин A(2;4), B(-1;-2) и C(11;13), необходимо использовать формулу для угла между двумя векторами.

1. Найдем векторы AB и BC.

   Вектор AB: $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-1 - 2, -2 - 4) = (-3, -6)$.

   Вектор BC: $\vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (11 - (-1), 13 - (-2)) = (12, 15)$.

2. Вычислим скалярное произведение векторов AB и BC.

   Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$ рассчитывается по формуле:

   $$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$$

   Где $\vec{AB} = (-3, -6)$ и $\vec{BC} = (12, 15)$.

   $$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-3) \cdot 12 + (-6) \cdot 15 = -36 - 90 = -126$$

3. Найдем длины векторов AB и BC.

   Длина вектора $\vec{AB}$ рассчитывается по формуле:

   $$|\vec{AB}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

   Длина вектора $\vec{BC}$ рассчитывается аналогично:

   $$|\vec{BC}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2} = \sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369} \approx 19.2$$

4. Используем формулу для угла между векторами.

   Угол $\theta$ между двумя векторами можно найти с помощью формулы:

   $$\cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{B$$