Найдите все значения параметра \( a \), при каждом из которых уравнение \( a(4^x + 1) = 3(2^x + 1)^2 - 8 \) имеет единственное решение.

Для решения данного уравнения:

1. Преобразуем выражения:
   Заметим, что $4^x = (2^x)^2$, и тогда уравнение можно переписать как:

   $$a((2^x)^2 + 1) = 3(2^x + 1)^2 - 8$$

2. Введем замену:
   Пусть $y = 2^x$. Тогда уравнение примет вид:

   $$a(y^2 + 1) = 3(y + 1)^2 - 8$$

3. Упростим правую часть:
   Раскроем скобки в правой части:

   $$3(y + 1)^2 = 3(y^2 + 2y + 1) = 3y^2 + 6y + 3$$

   Следовательно, уравнение становится:

   $$a(y^2 + 1) = 3y^2 + 6y + 3 - 8$$

   Упростим:

   $$a(y^2 + 1) = 3y^2 + 6y - 5$$

4. Преобразуем уравнение:
   Раскроем левую часть:

   $$a y^2 + a = 3y^2 + 6y - 5$$

   Переносим все выражения на одну сторону:

   $$a y^2 - 3y^2 + a - 6y + 5 = 0$$

   Упрощаем:

   $$(a - 3)y^2 - 6y + (a + 5) = 0$$

5. Условие для единственного решения:
   Для того чтобы это уравнение имело единственное решение, его дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант квадратного уравнения $A y^2 + B y + C = 0$ равен:

   $$D = B^2 - 4AC$$

   В нашем случае:

   • $A = a - 3$

   • $B = -6$

   • $C = a + 5$

   Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

   $$D = (-6)^2 - 4(a - 3)(a + 5)$$ $$D = 36 - 4(a - 3)(a + 5)$$

6. Упростим дискриминант:
   Раскроем скобки:

   $$(a - 3)(a + 5) = a^2 + 5a - 3a - 15 = a^2 + 2a - 15$$

   Следовательно:

   $$D = 36 - 4(a^2 + 2a - 15)$$ $$D = 36 - 4a^2 - 8a + 60$$ $$D = -4a^2 - 8a + 96$$

7. Решим для дискриминанта равного нулю:
   Для единственного решения дискриминант должен быть равен нулю:

   $$-4a^2 - 8a + 96 = 0$$

   Разделим обе части уравнения на -4:

   $$a^2 + 2a - 24 = 0$$

   Решаем это квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

   $$a = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1}$$ $$a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$$