Найдите все значения параметра \( a \), при каждом из которых уравнение \( |x^2 - 2ax + 7| = |6a - x^2 - 2x - 1| \) имеет более двух корней.

Решим равенство модулей через две системы:

где $A=x^2-2ax+7,\;B=6a-x^2-2x-1$.

1. $A=B$:

Его дискриминант:

Два различных вещественных корня у (I) есть тогда и только тогда, когда

2. $A=-B$:

Отсюда либо $a=-1$ (тогда равенство модулей тождественно верно для всех $x$, корней бесконечно много), либо при $a\ne-1$ имеем единственный корень из этой ветви $x=3$.

Теперь считаем общее число корней.
При $a\ne-1$ всегда есть корень $x=3$ (из пункта 2), а из пункта 1 добавятся ещё два корня тогда и только тогда, когда уравнение (I) имеет два различных действительных корня и ни один из них не равен $3$.

Проверка, когда $x=3$ является корнем (I):

Значит, при $a=\frac{8}{3}$ один из корней (I) совпадает с $x=3$, и всего получается лишь два различных корня ($x=3$ и второй корень (I)), а не более двух.

Итог:

• $a=-1$ даёт бесконечно много корней (подходит).

• Для $a\ne-1$ имеем более двух корней тогда и только тогда, когда

То есть все такие $a$: