Сколько существует трехзначных чисел, кратных пяти, в записи которых все цифры различны?

Для того чтобы найти количество трехзначных чисел, кратных пяти, в записи которых все цифры различны, нужно учитывать несколько важных условий:

1. Число должно быть трехзначным. Это значит, что оно должно быть в пределах от 100 до 999.

2. Число должно быть кратно пяти. Для этого последняя цифра числа должна быть одной из следующих: 0 или 5.

3. Все цифры числа должны быть различными. То есть цифры сотен, десятков и единиц не могут повторяться.

Рассмотрим два возможных случая:

Случай 1: Последняя цифра — 0

• Единицы = 0: Это условие означает, что последняя цифра числа обязательно равна 0.

• Сотни и десятки: Цифры сотен и десятков должны быть различными и не равными 0. То есть, для сотен мы можем выбрать любую цифру от 1 до 9 (9 вариантов), а для десятков любую цифру, которая не равна выбранной цифре сотен и не равна 0 (8 вариантов).

Итак, для чисел, заканчивающихся на 0, существует:
$9 \times 8 = 72$
возможных чисел.

Случай 2: Последняя цифра — 5

• Единицы = 5: Это условие означает, что последняя цифра числа равна 5.

• Сотни и десятки: Цифры сотен и десятков должны быть различными и не равными 5. То есть, для сотен мы можем выбрать любую цифру от 1 до 9, исключая 5 (8 вариантов), а для десятков любую цифру, которая не равна выбранной цифре сотен и не равна 5 (8 вариантов).

Итак, для чисел, заканчивающихся на 5, существует:
$8 \times 8 = 64$
возможных чисел.

Общее количество:

Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно сложить результаты обоих случаев:
$72 + 64 = 136$

Таким образом, существует 136 трехзначных чисел, кратных пяти, в записи которых все цифры различны.