Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых все цифры различны и обе крайние цифры отличны от 0?

Для того чтобы найти количество трехзначных чисел, в записи которых все цифры различны, и обе крайние цифры отличны от 0, рассмотрим решение поэтапно.

Трехзначное число имеет вид $ABC$, где $A$ — первая цифра (сотни), $B$ — вторая цифра (десятки), $C$ — третья цифра (единицы).

Условия:

1. Все цифры должны быть различны.

2. Первая и последняя цифры не могут быть равны 0.

Шаги решения:

1. Первая цифра $A$: Первая цифра не может быть 0 (она не может быть ведущим нулем в числе), поэтому для неё есть 9 возможных вариантов: от 1 до 9.

2. Третья цифра $C$: Третья цифра также не может быть 0, и она должна отличаться от первой цифры. Значит, для неё остаётся 8 вариантов: любые цифры от 1 до 9, кроме той, что выбрана для первой цифры.

3. Вторая цифра $B$: Вторая цифра может быть любая цифра от 0 до 9, но она должна отличаться как от первой, так и от третьей цифры. Следовательно, для второй цифры остаётся 8 вариантов (10 возможных цифр минус уже выбранные для $A$ и $C$).

Итоговое количество:

Итак, для каждой позиции:

• Первая цифра: 9 вариантов.

• Вторая цифра: 8 вариантов.

• Третья цифра: 8 вариантов.

Общее количество таких чисел равно:

Ответ: 576.