Докажите справедливость равенства: а) (sin a sin 3a) / (cos a cos 3a) = tg 2a;

Заметим сразу, что в таком виде равенство вообще неверно для произвольного $a$. Давайте аккуратно это разберём.

1. Преобразуем левую часть

Имеем выражение

Разделим «по множителям»:

То есть левая часть равенства просто равна

Тогда записанное в условии равенство

означало бы

2. Проверим, верно ли это для любого угла

Возьмём, например, угол $a = 15^\circ$.

Тогда:

• $3a = 45^\circ$,

• $2a = 30^\circ$.

Посчитаем обе части:

• Левая часть:

  $$\tg a \,\tg 3a = \tg 15^\circ \cdot \tg 45^\circ = \tg 15^\circ.$$

• Правая часть:

  $$\tg 2a = \tg 30^\circ.$$

А численно:

Очевидно, что

значит,

при $a = 15^\circ$, и тем более равенство

не может быть тождественным (истинным для всех $a$).

3. Что на самом деле верно

Из пункта 1 мы уже получили точное тождество:

Скорее всего, в условии задачи просто опечатка: вместо $\tg 2a$ должно быть $\tg a\,\tg 3a$. В этом случае «доказательство» состоит буквально в одном шаге:

Итак, равенство, записанное в вопросе, в таком виде неверно, а корректное тождество выглядит так: