При каких значениях a уравнение имеет единственное решение? (2a-5)x² - 2(a-1)(x+3) = 0

Рассмотрю уравнение

Коэффициенты: $A=2a-5,\; B=-2(a-1),\; C=-6(a-1)$.

Единственное решение возможно в двух случаях:

1) Квадратичное уравнение с кратным корнем: $A\neq 0$ и дискриминант $D=0$.

Отсюда $D=0 \iff (a-1)(13a-31)=0$, то есть

Проверка ведущего коэффициента: при $a=1$, $A=-3\neq 0$; при $a=\frac{31}{13}$, $A=\frac{62}{13}-5=-\frac{3}{13}\neq 0$. Значит в обоих случаях корень единственный (кратный). Для наглядности:

• при $a=1$: $-3x^2=0 \Rightarrow x=0$;

• при $a=\frac{31}{13}$: уравнение сводится к $(x+6)^2=0 \Rightarrow x=-6$.

2) Вырождается в линейное уравнение: $A=0$, но коэффициент при $x$ не нулевой.
$A=0 \iff a=\frac{5}{2}$. Тогда

единственное решение (так как $a-1\neq 0$).

Итого, уравнение имеет единственное решение при