В прямоугольном треугольнике площадь равна \(72\sqrt{3}\), один из острых углов равен \(30^\circ\). Найти длину гипотенузы.

В данном прямоугольном треугольнике площадь равна $72\sqrt{3}$, а один из острых углов равен $30^\circ$. Нам нужно найти длину гипотенузы.

Обозначим стороны треугольника через:

• $a$ и $b$ — катеты,

• $c$ — гипотенуза.

Из условия задачи известно, что площадь треугольника $S = 72\sqrt{3}$. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как:

Значит:

Отсюда:

Также известно, что один из острых углов треугольника равен $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$, а второй острый угол либо $30^\circ$, либо $60^\circ$. Пусть угол при вершине $A$ равен $30^\circ$. Тогда треугольник будет иметь углы $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике с углами $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ длины сторон удовлетворяют следующим отношениям:

• катет, противоположный углу $30^\circ$, равен $\frac{1}{2}$ гипотенузы $c$,

• катет, противоположный углу $60^\circ$, равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ гипотенузы $c$.

Обозначим катет, противоположный углу $30^\circ$, как $a$, а катет, противоположный углу $60^\circ$, как $b$. Тогда:

Теперь подставим эти выражения для $a$ и $b$ в уравнение для произведения катетов:

Получаем:

Упростим:

Разделим обе стороны на $\sqrt{3}$:

Умножим обе стороны на 4:

Теперь извлечем квадратный корень:

Таким образом, длина гипотенузы $c$ равна 24.