Вставьте пропущенные цифры так, чтобы четырёхзначное число 26∗∗ делилось и на 8, и на 12, и на 15. Какая цифра будет на предпоследнем месте?

Чтобы решить задачу, необходимо найти такое четырёхзначное число 26**, которое делится на 8, 12 и 15 одновременно. Для этого сначала разберём условия:

1. Деление на 8: Число делится на 8, если его последние три цифры делятся на 8.
2. Деление на 12: Число делится на 12, если оно делится и на 3, и на 4.
3. Деление на 15: Число делится на 15, если оно делится и на 3, и на 5.

Шаг 1: Находим общее кратное

Для того чтобы число делилось на все указанные числа, оно должно делиться на наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел. Найдём НОК для чисел 8, 12 и 15.

• Разложим числа на простые множители:
  • 8 = 2³
  • 12 = 2² × 3
  • 15 = 3 × 5

Чтобы найти НОК, берём максимальные степени всех простых множителей:

• 2³ (из 8),
• 3 (из 12 и 15),
• 5 (из 15).

НОК(8, 12, 15) = 2³ × 3 × 5 = 120.

Следовательно, искомое число 26** должно быть кратно 120.

Шаг 2: Проверяем делимость на 8

Теперь рассмотрим последние три цифры числа 26**. Чтобы число делилось на 8, последние три цифры (6** в нашем случае) должны делиться на 8. Рассмотрим возможные значения последних двух цифр ** таким образом, чтобы 6** делилось на 8.

Пройдём по всем значениям, начиная с 600:

• 600 ÷ 8 = 75 (делится),
• 608 ÷ 8 = 76 (делится),
• 616 ÷ 8 = 77 (делится),
• 624 ÷ 8 = 78 (делится),
• 632 ÷ 8 = 79 (делится),
• и так далее.

Получается, что последние три цифры могут быть 600, 608, 616, 624, 632 и т.д.

Шаг 3: Проверяем делимость на 15

Для делимости на 15 число должно делиться и на 5, и на 3. Чтобы число делилось на 5, его последняя цифра должна быть либо 0, либо 5. Мы уже знаем, что последняя цифра может быть только 0 (так как для делимости на 8 последняя цифра — это 0).

Шаг 4: Проверяем делимость на 3

Для делимости на 3 сумма всех цифр числа должна делиться на 3. Рассмотрим возможные варианты четырёхзначных чисел 26**, где последняя цифра — 0.

• Для числа 2600: сумма цифр 2 + 6 + 0 + 0 = 8 (не делится на 3),
• Для числа 2610: сумма цифр 2 + 6 + 1 + 0 = 9 (делится на 3),
• Для числа 2620: сумма цифр 2 + 6 + 2 + 0 = 10 (не делится на 3).

Таким образом, подходящее число — это 2610, так как оно делится на 120.

Ответ:

Цифра на предпоследнем месте — 1.