Две бригады , работая вместе, могут выполнить задание за 8 часов . Первая бригада , работая одна , могла бы выполнить задание на 12 часов быстрее , чем вторая бригада

Для решения задачи представим, что время, которое потребуется второй бригаде для выполнения задания, — это $t$ часов. Тогда время, которое потребуется первой бригаде, будет на 12 часов меньше, то есть $t - 12$ часов.

Теперь, скорость работы бригад можно выразить как обратные величины их времени выполнения задания. То есть:

• Скорость первой бригады: $\frac{1}{t - 12}$.

• Скорость второй бригады: $\frac{1}{t}$.

Если они работают вместе, их общая скорость будет равна сумме этих скоростей, и они смогут выполнить задание за 8 часов. То есть:

Решим это уравнение.

Приведем к общему знаменателю:

Упростим числитель:

Теперь умножим обе стороны уравнения на 8 и на $t(t - 12)$, чтобы избавиться от дробей:

Раскроем скобки:

Приведем все в одну сторону:

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого используем формулу для корней квадратного уравнения:

Посчитаем дискриминант:

Теперь находим корни:

Таким образом, два возможных значения для $t$:

Так как время второй бригады не может быть 4 часа (так как первая бригада должна работать дольше, чем вторая), выбираем $t = 24$.

Таким образом, вторая бригада выполняет задание за 24 часа, а первая бригада — за $24 - 12 = 12$ часов.

Проверим ответ. Если первая бригада выполняет задание за 12 часов, а вторая — за 24, то их скорости:

• Первая бригада: $\frac{1}{12}$,

• Вторая бригада: $\frac{1}{24}$.

Общая скорость:

Это соответствует времени 8 часов, которое требуется для выполнения задания совместными усилиями. Значит, решение верно.