Найти область определения функции y = tg(4x). Является ли эта функция чётной?

Область определения функции $y = \tan(4x)$ определяется тем, где аргумент тангенса не равен нечётным кратным $\frac{\pi}{2}$, потому что тангенс в этих точках не существует.

Функция $\tan(\theta)$ имеет разрывы в точках $\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — целое число. В случае функции $y = \tan(4x)$ аргумент равен $4x$, то есть:

Решая это уравнение для $x$, получаем:

Таким образом, функция $y = \tan(4x)$ не существует в точках $x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{4}$, где $n$ — целое число. Это и есть область разрыва функции. Следовательно, область определения функции $y = \tan(4x)$ — это все действительные числа, за исключением точек вида $x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{4}$, где $n$ — целое число.

Теперь, чтобы понять, является ли функция чётной, проверим её свойство:

Функция называется чётной, если для всех $x$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Для функции $y = \tan(4x)$ подставим $-x$ в аргумент:

Свойство тангенса таково, что $\tan(-\theta) = -\tan(\theta)$. Следовательно:

Таким образом, $y = \tan(4x)$ не является чётной функцией, так как $\tan(-4x) \neq \tan(4x)$, а наоборот $\tan(-4x) = -\tan(4x)$.

Ответ: область определения функции $y = \tan(4x)$ — все действительные числа, за исключением $x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{4}$, где $n$ — целое число. Эта функция не является чётной.