Решите уравнение: cos7x + cosx = 0

Решим уравнение

1. Преобразуем сумму косинусов

Используем формулу для суммы косинусов:

Здесь $A = 7x$, $B = x$. Тогда:

Уравнение превращается в:

Коэффициент 2 можно отбросить, он на корни не влияет:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, то есть:

1. $\cos 4x = 0$,

2. $\cos 3x = 0$.

2. Решаем $\cos 4x = 0$

Общий вид решений уравнения $\cos t = 0$:

Подставляем $t = 4x$:

Делим на 4:

3. Решаем $\cos 3x = 0$

Аналогично, для $\cos 3x = 0$:

Делим на 3:

4. Итоговый ответ

Все решения уравнения $\cos 7x + \cos x = 0$ имеют вид:

или

Это и есть общий вид решений на множестве действительных чисел.