Log3(7+2x)=log3(3-2x)+2

Решим уравнение: $\log_3(7 + 2x) = \log_3(3 - 2x) + 2$.

1. Применим свойства логарифмов:
   У нас есть логарифмы с одинаковым основанием, то есть $\log_3$. Чтобы упростить выражение, сначала перенесем все логарифмы в одну часть уравнения.

   Перепишем уравнение:

   $$\log_3(7 + 2x) - \log_3(3 - 2x) = 2$$

2. Используем свойство логарифмов:
   Напоминаю, что разность логарифмов с одинаковым основанием можно преобразовать в логарифм частного:

   $$\log_3 \left( \frac{7 + 2x}{3 - 2x} \right) = 2$$

3. Применим определение логарифма:
   Логарифм по основанию 3 равен 2, это означает, что аргумент логарифма равен $3^2$:

   $$\frac{7 + 2x}{3 - 2x} = 9$$

4. Решим полученное дробное уравнение:
   Теперь умножим обе стороны на $3 - 2x$ (при условии, что $3 - 2x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{3}{2}$):

   $$7 + 2x = 9(3 - 2x)$$

5. Раскроем скобки:

   $$7 + 2x = 27 - 18x$$

6. Переносим все переменные на одну сторону, а константы на другую:

   $$2x + 18x = 27 - 7$$ $$20x = 20$$

7. Находим $x$:

   $$x = \frac{20}{20} = 1$$

8. Проверка:
   Подставим $x = 1$ в исходное уравнение:

   $$\log_3(7 + 2(1)) = \log_3(3 - 2(1)) + 2$$ $$\log_3(9) = \log_3(1) + 2$$ $$2 = 0 + 2$$

   Равенство выполнено, значит, $x = 1$ — это решение.

Ответ: $x = 1$.