Log3(2x+1)+log3(x-3)=2

Для того чтобы решить уравнение $\log_3(2x+1) + \log_3(x-3) = 2$, можно воспользоваться свойствами логарифмов и упростить выражение.

1. Используем свойство логарифмов:

   $$\log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac)$$

   Применим это свойство к нашему уравнению:

   $$\log_3((2x+1)(x-3)) = 2$$

   Это можно переписать как:

   $$\log_3((2x+1)(x-3)) = 2$$

2. Переводим логарифм в экспоненциальную форму:
   Уравнение $\log_b(a) = c$ можно переписать как $a = b^c$. Для нашего случая:

   $$(2x+1)(x-3) = 3^2$$

   Это упрощается до:

   $$(2x+1)(x-3) = 9$$

3. Решаем полученное уравнение:
   Раскроем скобки:

   $$2x(x-3) + 1(x-3) = 9$$ $$2x^2 - 6x + x - 3 = 9$$

   Скомбинируем подобные члены:

   $$2x^2 - 5x - 3 = 9$$

   Теперь перенесем 9 на левую сторону:

   $$2x^2 - 5x - 12 = 0$$

4. Решаем квадратное уравнение:
   Для решения уравнения $2x^2 - 5x - 12 = 0$ используем формулу дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   где $a = 2$, $b = -5$, $c = -12$. Подставляем значения:

   $$D = (-5)^2 - 4(2)(-12) = 25 + 96 = 121$$

   Теперь находим корни уравнения:

   $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{121}}{2(2)} = \frac{5 \pm 11}{4}$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{5 + 11}{4} = \frac{16}{4} = 4$$ $$x_2 = \frac{5 - 11}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$$

5. Проверка полученных корней:
   Необходимо проверить, не приводят ли найденные корни к недопустимым значениям в логарифмах. В логарифмах должны быть положительные аргументы:

   • Для $x = 4$ в выражении $\log_3(2x+1)$ получаем $2(4) + 1 = 9$ (положительное значение) и $\log_3(x-3)$ получаем $4 - 3 = 1$ (положительное значение). Значит, $x = 4$ является допустимым решением.

   • Для $x = -\frac{3}{2}$ выражения $2x + 1 = 2(-\frac{3}{2}) + 1 = -3 + 1 = -2$ и $x - 3 = -\frac{3}{2} - 3 = -\frac{9}{2}$, что оба значения отрицательные. Так как логарифм от отрицательных чисел не существует, $x = -\frac{3}{2}$