Log3(x+3)=log3(x^2+2x-3)

Решим уравнение $\log_3(x+3) = \log_3(x^2 + 2x - 3)$.

1. Используем свойство логарифмов. Если логарифмы с одинаковым основанием равны, то их аргументы также равны. То есть, из уравнения $\log_3(x+3) = \log_3(x^2 + 2x - 3)$ можно сразу записать:

   $$x + 3 = x^2 + 2x - 3$$

2. Приводим уравнение к стандартному виду. Переносим все элементы на одну сторону:

   $$0 = x^2 + 2x - 3 - (x + 3)$$

   Упрощаем:

   $$0 = x^2 + 2x - 3 - x - 3$$ $$0 = x^2 + x - 6$$

3. Решаем квадратное уравнение. Для этого используем дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

   Корни уравнения находятся по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 5}{2}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$x = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x = \frac{-1 - 5}{2} = -3$$

4. Проверяем, не приводят ли эти значения к нарушениям условий логарифмов. Логарифм существует только тогда, когда его аргумент больше нуля. Проверим аргументы логарифмов при найденных значениях $x$:

   • Для $x = 2$:

     $$x+3 = 2+3 = 5 > 0 \quad \text{и} \quad x^2 + 2x - 3 = 2^2 + 2 \cdot 2 - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0$$

     Все аргументы положительные, значит, значение $x = 2$ подходит.

   • Для $x = -3$:

     $$x+3 = -3+3 = 0 \quad (\text{аргумент логарифма равен нулю, что невозможно!})$$

     Значение $x = -3$ не подходит, так как логарифм от нуля не существует.

5. Ответ: Единственным решением уравнения является $x = 2$.