1) log3 (x-2)+log3 (x+4)=3 2) log3 (x^2-5x+4)-log3 (x-4)=2

1) Решение уравнения: $\log_3(x-2) + \log_3(x+4) = 3$

Для того чтобы решить это уравнение, будем использовать свойства логарифмов.

1. Сложение логарифмов: Когда два логарифма с одинаковым основанием складываются, это можно выразить как логарифм произведения:

   $$\log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(a \cdot c)$$

   В нашем случае:

   $$\log_3(x-2) + \log_3(x+4) = \log_3((x-2)(x+4))$$

   Подставляем это в исходное уравнение:

   $$\log_3((x-2)(x+4)) = 3$$

2. Преобразуем логарифм в экспоненциальное выражение: Логарифм с основанием 3 равен 3, если аргумент равен $3^3$, то есть 27:

   $$(x-2)(x+4) = 27$$

3. Раскроем скобки:

   $$x^2 + 4x - 2x - 8 = 27$$

   Упростим:

   $$x^2 + 2x - 8 = 27$$

   Переносим 27 в левую часть уравнения:

   $$x^2 + 2x - 35 = 0$$

4. Решаем квадратное уравнение:
   Используем формулу дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   Где $a = 1$, $b = 2$, $c = -35$:

   $$D = 2^2 - 4(1)(-35) = 4 + 140 = 144$$

   Находим корни:

   $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-2 \pm 12}{2}$$

   То есть:

   $$x_1 = \frac{-2 + 12}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-2 - 12}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

5. Проверка решений:
   Для того чтобы логарифм существовал, аргументы должны быть положительными:

   • Для $x_1 = 5$ аргументы $x - 2 = 3$ и $x + 4 = 9$ — положительные, значит, решение $x = 5$ подходит.

   • Для $x_2 = -7$ аргументы $x - 2 = -9$ и $x + 4 = -3$ — отрицательные, логарифм для таких значений не существует, значит, $x = -7$ — это недопустимое решение.

Итак, решение первого уравнения — $x = 5$.

2) Решение уравнения: $\log_3(x^2 - 5x + 4) - \log_3(x - 4) = 2$

Используем свойства логарифмов, чтобы решить это уравнение.

1. Вычитание логарифмов: Когда два логарифма с одинаковым основанием вычитаются, это можно выразить как логарифм частного:

   $$\log_b(a) - \log_b(c) = \log_b\left(\frac{a}{c}\right)$$

   В нашем случае:

   $$\log_3\left(\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4}\right) = 2$$

2. Преобразуем логарифм в экспоненциальное выражение: Логарифм с основанием 3 равен 2, если аргумент равен $3^2$