Log3(x-2)+log3(x+6)=2

Для того чтобы решить уравнение $\log_3(x-2) + \log_3(x+6) = 2$, следуем поэтапно:

1. Используем свойство логарифмов:
   Сумма двух логарифмов с одинаковым основанием $\log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(a \cdot c)$. Таким образом, уравнение можно преобразовать в:

   $$\log_3((x-2)(x+6)) = 2$$

2. Применим определение логарифма:
   Логарифм по основанию 3 от числа равен 2, если само число равно $3^2 = 9$. Следовательно:

   $$(x-2)(x+6) = 9$$

3. Раскроем скобки:

   $$(x-2)(x+6) = x^2 + 6x - 2x - 12 = x^2 + 4x - 12$$

   Получаем уравнение:

   $$x^2 + 4x - 12 = 9$$

4. Переносим все в одну сторону:

   $$x^2 + 4x - 12 - 9 = 0$$

   Упростим:

   $$x^2 + 4x - 21 = 0$$

5. Решаем квадратное уравнение:
   Используем формулу для решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   В нашем уравнении $a = 1$, $b = 4$, $c = -21$. Подставляем значения:

   $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2}$$ $$x = \frac{-4 \pm 10}{2}$$

6. Находим корни:

   $$x_1 = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

7. Проверяем ограничения:
   Логарифм определён только для положительных аргументов, то есть $x-2 > 0$ и $x+6 > 0$. Это даёт следующие ограничения:

   $$x > 2 \quad \text{и} \quad x > -6$$

   Таким образом, решение $x = -7$ не подходит, потому что оно не удовлетворяет условию $x > 2$.

8. Окончательное решение:
   Единственное решение, которое удовлетворяет всем условиям, это $x = 3$.