Основание прямой треугольной призмы — прямоугольный треугольник с острым углом 60° и катетом, прилежащим к этому углу, равным 9 см. Высота призмы равна 20 см. Найти объём призмы и площадь полной поверхности.

Для нахождения объёма и площади полной поверхности прямой треугольной призмы, нужно выполнить несколько шагов.

1. Объём призмы

Объём прямой призмы можно найти по формуле:

где:

• $S_{\text{осн}}$ — площадь основания,

• $h$ — высота призмы.

Основание призмы — прямоугольный треугольник с острым углом 60° и катетом, прилежащим к этому углу, равным 9 см. Пусть один катет этого треугольника будет $a = 9$ см, а угол между катетами — 60°.

В таком треугольнике второй катет можно найти с помощью формулы:

Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, то:

Теперь, площадь основания $S_{\text{осн}}$ прямоугольного треугольника вычисляется по формуле для площади треугольника:

Теперь, зная площадь основания и высоту призмы $h = 20$ см, можно найти объём:

2. Площадь полной поверхности призмы

Полную поверхность прямой призмы можно найти по формуле:

где:

• $S_{\text{осн}}$ — площадь основания,

• $P_{\text{осн}}$ — периметр основания,

• $h$ — высота призмы.

Периметр основания прямоугольного треугольника равен сумме длин его сторон:

где $c$ — гипотенуза треугольника. По теореме Пифагора гипотенузу можно найти так:

Таким образом, периметр основания:

Теперь можем вычислить площадь полной поверхности:

Ответ:

• Объём призмы: $1402.92 \, \text{см}^3$,

• Площадь полной поверхности призмы: $992.05 \, \text{см}^2$.