Решите неравенство(x-21)/(x+7)меньше 0

Чтобы решить неравенство $\frac{x - 21}{x + 7} < 0$, нужно найти, при каких значениях $x$ дробь принимает отрицательное значение.

Шаг 1. Определим область допустимых значений.

Для того чтобы дробь была определена, знаменатель не должен равняться нулю. То есть, $x + 7 \neq 0$, что означает $x \neq -7$.

Шаг 2. Изучим знаки числителя и знаменателя.

Неравенство $\frac{x - 21}{x + 7} < 0$ выполняется, когда числитель и знаменатель имеют противоположные знаки, т.е. один из них положителен, а другой — отрицателен.

Числитель $x - 21$ изменяет свой знак в точке $x = 21$:

• При $x < 21$ числитель отрицателен.

• При $x > 21$ числитель положителен.

Знаменатель $x + 7$ меняет знак в точке $x = -7$:

• При $x < -7$ знаменатель отрицателен.

• При $x > -7$ знаменатель положителен.

Шаг 3. Определим интервалы для проверки знаков.

Теперь рассмотрим интервалы, определяемые точками $x = -7$ и $x = 21$:

1. $x < -7$

2. $-7 < x < 21$

3. $x > 21$

Шаг 4. Проверим знаки на каждом интервале.

1. Для интервала $x < -7$:

   • Числитель $x - 21$ отрицателен.

   • Знаменатель $x + 7$ отрицателен.
     Поскольку оба знака одинаковые (отрицательные), дробь $\frac{x - 21}{x + 7}$ положительная.

2. Для интервала $-7 < x < 21$:

   • Числитель $x - 21$ отрицателен.

   • Знаменатель $x + 7$ положителен.
     Поскольку знаки разные, дробь $\frac{x - 21}{x + 7}$ отрицательная.

3. Для интервала $x > 21$:

   • Числитель $x - 21$ положителен.

   • Знаменатель $x + 7$ положителен.
     Поскольку оба знака одинаковые (положительные), дробь $\frac{x - 21}{x + 7}$ положительная.

Шаг 5. Условие неравенства.

Неравенство $\frac{x - 21}{x + 7} < 0$ выполняется, когда дробь отрицательная. Это происходит на интервале $-7 < x < 21$.

Ответ:

Решением неравенства является интервал $(-7, 21)$, то есть $x \in (-7, 21)$.