6х^4-4х^6 найти производную и точки экстремума

Пусть $f(x)=6x^{4}-4x^{6}$.

Производная:

Критические точки из $f'(x)=0$:

Знаки $f'(x)$ и монотонность:

• При $x<-1$: $x^{3}<0$, $1-x^{2}<0$ ⇒ $f'(x)>0$ ⇒ $f$ возрастает.

• На $(-1,0)$: $x^{3}<0$, $1-x^{2}>0$ ⇒ $f'(x)<0$ ⇒ $f$ убывает.

• На $(0,1)$: $x^{3}>0$, $1-x^{2}>0$ ⇒ $f'(x)>0$ ⇒ $f$ возрастает.

• При $x>1$: $x^{3}>0$, $1-x^{2}<0$ ⇒ $f'(x)<0$ ⇒ $f$ убывает.

Точки экстремума (и значения функции):

• $x=-1$: смена $+\to-$ ⇒ локальный максимум, $f(-1)=6-4=2$.

• $x=0$: смена $-\to+$ ⇒ локальный минимум, $f(0)=0$.

• $x=1$: смена $+\to-$ ⇒ локальный максимум, $f(1)=2$.

Итог:

• Производная: $f'(x)=24x^{3}(1-x^{2})$.

• Локальные максимумы в $x=\pm1$ со значением $2$.

• Локальный минимум в $x=0$ со значением $0$.