f(x)=x^3-2x^2+x+3 Найти экстремумы функции

Для того чтобы найти экстремумы функции $f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$, нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем производную функции

Экстремумы функции могут быть найдены с помощью первой производной. Сначала вычислим производную функции $f(x)$.

Функция:

Первая производная $f'(x)$:

Шаг 2: Найдем критические точки

Для нахождения критических точек нужно приравнять первую производную к нулю и решить уравнение:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Дискриминант $\Delta$ вычисляется по формуле:

где $a = 3$, $b = -4$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант:

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

Подставляем значения:

Получаем два корня:

Шаг 3: Проверим, являются ли эти точки экстремумами

Для этого используем вторую производную $f''(x)$. Найдем её:

Теперь подставим в неё найденные критические точки:

1. Для $x_1 = 1$:

Так как вторая производная положительна, это означает, что в точке $x = 1$ находится минимум функции.

2. Для $x_2 = \frac{1}{3}$:

Так как вторая производная отрицательна, это означает, что в точке $x = \frac{1}{3}$ находится максимум функции.

Ответ:

Экстремумы функции $f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$ находятся в точках:

• Минимум в точке $x = 1$,

• Максимум в точке $x = \frac{1}{3}$.