Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции y = x² - 6x.

Для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции $y = x^2 - 6x$, необходимо провести несколько шагов.

1. Найдем производную функции:

   Для этого воспользуемся правилом дифференцирования для степени. Производная функции $y = x^2 - 6x$ будет:

   $$y' = 2x - 6$$

2. Найдем критические точки:

   Критические точки функции — это такие значения $x$, при которых производная равна нулю или не существует. Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

   $$2x - 6 = 0$$

   Решим это уравнение:

   $$2x = 6$$ $$x = 3$$

   Таким образом, $x = 3$ — это критическая точка.

3. Проведем анализ знаков производной, чтобы определить монотонность:

   Для этого исследуем знак производной на интервалах, разделенных найденной критической точкой $x = 3$. Интервалы: $(-\infty, 3)$ и $(3, +\infty)$.

   • Для $x < 3$ (например, $x = 0$) производная $y' = 2(0) - 6 = -6$, то есть производная отрицательна. Следовательно, функция убывает на интервале $(-\infty, 3)$.

   • Для $x > 3$ (например, $x = 4$) производная $y' = 2(4) - 6 = 2$, то есть производная положительна. Следовательно, функция возрастает на интервале $(3, +\infty)$.

4. Определим экстремумы:

   Экстремум функции может быть максимумом или минимумом. Для этого нужно исследовать, какой тип экстремума имеет точка $x = 3$. Мы видим, что функция меняет свой знак на $x = 3$ с убывания на возрастание, что говорит о наличии минимума в точке $x = 3$.

   Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим $x = 3$ в исходную функцию:

   $$y(3) = 3^2 - 6(3) = 9 - 18 = -9$$

   Таким образом, точка минимума — $(3, -9)$.

Итог:

• Функция убывает на промежутке $(-\infty, 3)$.

• Функция возрастает на промежутке $(3, +\infty)$.

• Минимум функции находится в точке $(3, -9)$.