Найти экстремумы функции : 1) f(x)=x^3-x^2-x+2. 2) f(x) = (5-4x)e^x

Ответы на вопрос

Отвечает Донская Алёна.

Шаг 1: Находим производную функции.

Производная функции $f(x) = x^3 - x^2 - x + 2$ по правилу дифференцирования полиномов:

f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(2)

f'(x) = 3x^2 - 2x - 1

Шаг 2: Находим критические точки.

Для нахождения экстремумов, приравниваем производную к нулю:

3x^2 - 2x - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

\Delta = (-2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16

x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(3)} = \frac{2 \pm 4}{6}

Получаем два корня:

x_1 = \frac{2 + 4}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3}

Шаг 3: Проверка на экстремум.

Для того чтобы определить, является ли точка экстремумом, вычислим вторую производную функции:

f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 2x - 1) = 6x - 2

Теперь подставим $x_1 = 1$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$ в вторую производную:

f''(1) = 6(1) - 2 = 4

Так как $f''(1) > 0$ , точка $x_1 = 1$ является минимумом.

f''\left(-\frac{1}{3}\right) = 6\left(-\frac{1}{3}\right) - 2 = -2 - 2 = -4

Так как $f''\left(-\frac{1}{3}\right) < 0$ , точка $x_2 = -\frac{1}{3}$ является максимумом.

Ответ:

Экстремумы функции: минимум в точке $x = 1$ , максимум в точке $x = -\frac{1}{3}$ .

Шаг 1: Находим производную функции.

Используем правило произведения для нахождения производной:

f'(x) = \frac{d}{dx}[(5 - 4x)e^x] = (5 - 4x) \cdot \frac{d}{dx}[e^x] + e^x \cdot \frac{d}{dx}(5 - 4x)

Последние заданные вопросы в категории Математика

Ответы на вопрос