Помогите найти экстремумы функции y=2x³-3x²-1.

Чтобы найти экстремумы функции $y = 2x^3 - 3x^2 - 1$, нужно выполнить следующий пошаговый анализ.

1. Найдём производную функции

Экстремумы (максимумы и минимумы) находятся там, где производная функции равна нулю (или не существует, но у нас полином, значит производная существует везде).

Найдём первую производную:

2. Приравниваем производную к нулю

Найдём критические точки:

Решения:

3. Исследуем характер этих точек

Определим, являются ли эти точки минимумами или максимумами, используя второй способ — исследование знака производной на интервалах.

Разобьём числовую прямую по точкам $x = 0$ и $x = 1$:

• На интервале $(-\infty, 0)$: выберем $x = -1$

  $$y'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 + 6 = 12 > 0$$

• На интервале $(0, 1)$: выберем $x = 0.5$

  $$y'(0.5) = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 1.5 - 3 = -1.5 < 0$$

• На интервале $(1, \infty)$: выберем $x = 2$

  $$y'(2) = 6(4) - 6(2) = 24 - 12 = 12 > 0$$

Таким образом:

• На $x = 0$ производная меняется с положительной на отрицательную → это точка максимума

• На $x = 1$ производная меняется с отрицательной на положительную → это точка минимума

4. Найдём значения функции в этих точках

• $y(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 - 1 = -1$

• $y(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 - 1 = 2 - 3 - 1 = -2$

Ответ:

Функция $y = 2x^3 - 3x^2 - 1$ имеет:

• Максимум в точке $x = 0$, значение функции $y = -1$

• Минимум в точке $x = 1$, значение функции $y = -2$