При каком значении a прямые (3a+2)x+(1-4a)y+8=0 и (5a-2)x+(a+4)y-7=0 перпендикулярны?

Ответы на вопрос

Отвечает Полтаранос Толя.

Чтобы найти значение $a$ , при котором данные прямые перпендикулярны, нужно использовать условие перпендикулярности прямых, которое гласит: два линейных уравнения $Ax + By + C = 0$ и $A'x + B'y + C' = 0$ перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов (коэффициентов при $x$ и $y$ ) равно $-1$ .

Шаг 1: Приведем уравнения прямых к стандартному виду.

Для первой прямой:

(3a+2)x + (1-4a)y + 8 = 0.

Чтобы выразить её в виде $y = mx + b$ , выделим $y$ :

(1 - 4a)y = -(3a + 2)x - 8.

y = \frac{-(3a + 2)}{(1 - 4a)}x - \frac{8}{(1 - 4a)}.

Таким образом, угловой коэффициент первой прямой $m_1 = \frac{-(3a + 2)}{(1 - 4a)}$ .

Для второй прямой:

(5a - 2)x + (a + 4)y - 7 = 0.

Аналогично, выделяем $y$ :

(a + 4)y = -(5a - 2)x + 7.

y = \frac{-(5a - 2)}{(a + 4)}x + \frac{7}{(a + 4)}.

Угловой коэффициент второй прямой $m_2 = \frac{-(5a - 2)}{(a + 4)}$ .

Шаг 2: Используем условие перпендикулярности.

Прямые перпендикулярны, если:

m_1 \cdot m_2 = -1.

Подставляем выражения для $m_1$ и $m_2$ :

\frac{-(3a + 2)}{(1 - 4a)} \cdot \frac{-(5a - 2)}{(a + 4)} = -1.

Упрощаем выражение:

\frac{(3a + 2)(5a - 2)}{(1 - 4a)(a + 4)} = 1.

Шаг 3: Решаем полученное уравнение.

Умножим обе части на $(1 - 4a)(a + 4)$ :

(3a + 2)(5a - 2) = (1 - 4a)(a + 4).

Раскроем скобки:

(3a + 2)(5a - 2) = 15a^2 - 6a + 10a - 4 = 15a^2 + 4a - 4,

(1 - 4a)(a + 4) = a + 4 - 4a^2 - 16a = -4a^2 - 15a + 4.

Теперь приравняем обе стороны:

15a^2 + 4a - 4 = -4a^2 - 15a + 4.

Переносим все в одну сторону:

15a^2 + 4a - 4 + 4a^2 + 15a - 4 = 0,

19a^2 + 19a - 8 = 0.

Последние заданные вопросы в категории Математика