При каком значении a прямые (3a+2)x+(1-4a)y+8=0 и (5a-2)x+(a+4)y-7=0 перпендикулярны?

Чтобы найти значение $a$, при котором данные прямые перпендикулярны, нужно использовать условие перпендикулярности прямых, которое гласит: два линейных уравнения $Ax + By + C = 0$ и $A'x + B'y + C' = 0$ перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов (коэффициентов при $x$ и $y$) равно $-1$.

Шаг 1: Приведем уравнения прямых к стандартному виду.

Для первой прямой:

Чтобы выразить её в виде $y = mx + b$, выделим $y$:

Таким образом, угловой коэффициент первой прямой $m_1 = \frac{-(3a + 2)}{(1 - 4a)}$.

Для второй прямой:

Аналогично, выделяем $y$:

Угловой коэффициент второй прямой $m_2 = \frac{-(5a - 2)}{(a + 4)}$.

Шаг 2: Используем условие перпендикулярности.

Прямые перпендикулярны, если:

Подставляем выражения для $m_1$ и $m_2$:

Упрощаем выражение:

Шаг 3: Решаем полученное уравнение.

Умножим обе части на $(1 - 4a)(a + 4)$:

Раскроем скобки:

Теперь приравняем обе стороны:

Переносим все в одну сторону: