Исследовать на чётность и нечётность функцию y = x³ + 5x, определённую на всей числовой оси.

Для того чтобы исследовать функцию $y = x^3 + 5x$ на чётность и нечётность, необходимо проверить её поведение при замене $x$ на $-x$.

1. Проверка на чётность:
   Функция называется чётной, если для всех $x$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Рассмотрим:

   $$f(x) = x^3 + 5x$$

   Подставим вместо $x$ значение $-x$:

   $$f(-x) = (-x)^3 + 5(-x) = -x^3 - 5x$$

   Мы видим, что:

   $$f(-x) = -x^3 - 5x \neq x^3 + 5x = f(x)$$

   Следовательно, функция не является чётной.

2. Проверка на нечётность:
   Функция называется нечётной, если для всех $x$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Проверим это:

   Мы уже нашли, что $f(-x) = -x^3 - 5x$, а также имеем $f(x) = x^3 + 5x$. Теперь проверим, равняется ли $f(-x)$ отрицательной функции $f(x)$:

   $$-f(x) = -(x^3 + 5x) = -x^3 - 5x$$

   Мы видим, что:

   $$f(-x) = -x^3 - 5x = -f(x)$$

   Следовательно, функция является нечётной.

Таким образом, функция $y = x^3 + 5x$ является нечётной.