2 cos в квадрате x - sin x = -1

Ответы на вопрос

Отвечает Демышева Дарья.

Уравнение, которое нужно решить, выглядит так:

2 \cos^2(x) - \sin(x) = -1

Чтобы решить его, сначала преобразуем уравнение. Известно, что для любого угла $x$ выполняется основное тригонометрическое тождество:

\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1

Это позволяет выразить $\cos^2(x)$ через $\sin^2(x)$ :

\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)

Подставим это выражение в исходное уравнение:

2(1 - \sin^2(x)) - \sin(x) = -1

Теперь раскроем скобки:

2 - 2\sin^2(x) - \sin(x) = -1

Переносим все члены на одну сторону:

2 - 2\sin^2(x) - \sin(x) + 1 = 0

Упростим выражение:

3 - 2\sin^2(x) - \sin(x) = 0

Теперь это уравнение выглядит как квадратное по отношению к $\sin(x)$ . Перепишем его в стандартной форме:

-2\sin^2(x) - \sin(x) + 3 = 0

Умножим на $-1$ для удобства:

2\sin^2(x) + \sin(x) - 3 = 0

Это квадратное уравнение относительно $\sin(x)$ . Решим его с помощью формулы для квадратного уравнения $a\sin^2(x) + b\sin(x) + c = 0$ :

\sin(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

В нашем случае $a = 2$ , $b = 1$ , $c = -3$ . Подставляем эти значения в формулу:

\sin(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)}

\sin(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}

\sin(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4}

\sin(x) = \frac{-1 \pm 5}{4}

Теперь рассмотрим два случая:

Для второго случая $\sin(x) = -\frac{3}{2}$ не существует, так как значения синуса находятся в пределах от $-1$ до $1$ .

Оставляем только первый случай:

\sin(x) = 1

Из этого следует, что $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ , где $k$ — целое число. Это решение для углов, где синус равен единице.

Таким образом, решение уравнения $2\cos^2(x) - \sin(x) = -1$ — это:

x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Ответы на вопрос