Найдите промежутки значений функции: \( y = x^2 + 3x - 5 \).

Чтобы найти промежутки значений функции $y = x^2 + 3x - 5$, нужно понять, как эта функция ведет себя на различных значениях $x$.

1. Определим вид функции.
   Функция $y = x^2 + 3x - 5$ — это квадратная функция. Квадратные функции всегда имеют параболу как график, и в данном случае она будет направлена вверх, потому что коэффициент при $x^2$ (то есть $1$) положительный.

2. Найдем вершину параболы.
   Для того чтобы понять, как меняется функция, найдем её вершину. Вершина параболы для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле:

   $$x_{\text{верш}} = \frac{-b}{2a}$$

   В нашем случае $a = 1$, $b = 3$, $c = -5$. Подставляем значения:

   $$x_{\text{верш}} = \frac{-3}{2(1)} = \frac{-3}{2}$$

3. Найдем значение функции в вершине.
   Подставим $x = \frac{-3}{2}$ в исходное уравнение:

   $$y = \left(\frac{-3}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{-3}{2}\right) - 5 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 5$$

   Приводим к общему знаменателю:

   $$y = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} - \frac{20}{4} = \frac{9 - 18 - 20}{4} = \frac{-29}{4}$$

   Таким образом, вершина параболы имеет координаты $\left( \frac{-3}{2}, \frac{-29}{4} \right)$.

4. Анализируем поведение функции.
   Поскольку парабола направлена вверх, минимальное значение функции равно $\frac{-29}{4}$, и оно достигается при $x = \frac{-3}{2}$. Значения функции на всех остальных $x$ будут больше этого минимального значения.

5. Вывод.
   Функция $y = x^2 + 3x - 5$ принимает все значения, начиная от $\frac{-29}{4}$ и до бесконечности. То есть промежуток значений функции будет:

   $$\left[ \frac{-29}{4}, +\infty \right)$$