При каком значении k прямые kx + 9x + 3y + 21 = 0 и −3kx + 2x + 2y − 8 = 0 параллельны?

Для того чтобы прямые были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть одинаковыми. Приведем уравнения прямых к виду $y = mx + b$, где $m$ — это угловой коэффициент.

1. Уравнение первой прямой: $kx + 9x + 3y + 21 = 0$.

Объединим подобные слагаемые:

Теперь выразим $y$ через $x$:

Таким образом, угловой коэффициент первой прямой $m_1 = -\frac{k + 9}{3}$.

2. Уравнение второй прямой: $-3kx + 2x + 2y - 8 = 0$.

Объединим подобные слагаемые:

Теперь выразим $y$ через $x$:

Таким образом, угловой коэффициент второй прямой $m_2 = \frac{3k - 2}{2}$.

Для того чтобы прямые были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны:

Теперь решим это уравнение:

1. Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное 3 и 2):

2. Раскроем скобки:

3. Переносим все слагаемые с $k$ в одну сторону, а константы в другую:

4. Решим относительно $k$:

Таким образом, прямые будут параллельны при $k = -\frac{12}{11}$.