1. x^2 - 3x + m = 0. Найдите значение m, если x1, x2 этого уравнения удовлетворяют соотношению 3x1 - 2x2 = 14. 2. При каких значениях k уравнение x^2 - 2k(x + 1) - k^2 = 0 имеет два совпадающих корня, отличных от нуля? 3. При каком значении q сумма кубов корней уравнения x^2 - x - q = 0 равна 19?

1. Для $x^2-3x+m=0$:
   $S=x_1+x_2=3,\; P=x_1x_2=m.$
   Дано $3x_1-2x_2=14$. Подставим $x_2=3-x_1$:
   $3x_1-2(3-x_1)=14 \Rightarrow 3x_1-6+2x_1=14 \Rightarrow 5x_1=20 \Rightarrow x_1=4,\; x_2=3-4=-1.$
   Тогда $m=P=x_1x_2=4\cdot(-1)=-4.$

Ответ: $m=-4.$

2. Уравнение $x^2-2k(x+1)-k^2=0$ перепишем как
   $x^2-2kx-(2k+k^2)=0$.
   Для совпадающих корней $D=0$:
   $D=(-2k)^2-4\cdot 1\cdot(-(2k+k^2))=4k^2+4(2k+k^2)=8k(k+1)=0$.
   Отсюда $k=0$ или $k=-1$. Совпадающий корень равен $\displaystyle x=\frac{-b}{2a}=\frac{2k}{2}=k$. Требуется корень $\neq0$, значит $k\neq0$. Остаётся $k=-1$.

Ответ: $k=-1.$

3. Для $x^2-x-q=0$:
   $S=x_1+x_2=1,\; P=x_1x_2=-q.$
   Сумма кубов: $x_1^3+x_2^3=S^3-3PS=1^3-3(-q)\cdot 1=1+3q.$
   По условию $1+3q=19 \Rightarrow q=6$.

Ответ: $q=6.$